On pose Pour tout ` n in N : I_n = int_0^1 x^n e^(-x) dx `

1) Calculer `I_0 text{ et } I_1`

2) A l 'aide d'une intégration par parties , montrer que ` forall n in N : I_(n+1)= (n+1)I_n -1/e `

3a) Vérifier que pour tout ` n in N : I_n >= 0 `

b) Montrer que la suite `(I_n)` est décroissante puis en déduire qu'elle est convergente

4a) Justifier que pour tout ` x in [0,1] : 1/e <= e^(-x) <= 1 `

b) Montrer que `forall n in N : 1/(e(n+1)) <= I_n <= 1/(n+1) `

c) En déduire `lim_{ n to +infty} I_n `